(1) 点 $(2, 0)$ から曲線 $y = x^3 - 3x + 6$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。 (2) 放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, 3)$ を通り、点 $(-2, 12)$ において直線 $y = -6x$ に接するように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

(1) 点 $(2, 0)$ から曲線 $y = x^3 - 3x + 6$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

(2) 放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, 3)$ を通り、点 $(-2, 12)$ において直線 $y = -6x$ に接するように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = x^3 - 3x + 6$ 上の点 $(t, t^3 - 3t + 6)$ における接線を考える。

$y' = 3x^2 - 3$ より、点 $(t, t^3 - 3t + 6)$ における接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t + 6) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t + 6$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3 + 6$

この接線が点 $(2, 0)$ を通るから、

$0 = (3t^2 - 3)(2) - 2t^3 + 6$

$0 = 6t^2 - 6 - 2t^3 + 6$

$0 = 6t^2 - 2t^3$

$2t^2(3 - t) = 0$

$t = 0, 3$

$t = 0$ のとき、接点は $(0, 6)$ で、接線は $y = -3x + 6$

$t = 3$ のとき、接点は $(3, 18)$ で、接線は $y = 24x - 48$

(2)

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(1, 3)$ を通るから、

$3 = a(1)^2 + b(1) + c$

$a + b + c = 3$ ...(1)

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(-2, 12)$ を通るから、

$12 = a(-2)^2 + b(-2) + c$

$4a - 2b + c = 12$ ...(2)

また、点 $(-2, 12)$ における接線の傾きは $y' = 2ax + b$ より、

$y'(-2) = 2a(-2) + b = -4a + b$

これが直線 $y = -6x$ の傾き $-6$ に等しいから、

$-4a + b = -6$ ...(3)

(2) - (1) より、

$3a - 3b = 9$

$a - b = 3$ ...(4)

(3) - (4) より、

$-5a = -9$

$a = \frac{9}{5}$

(4) より、

$b = a - 3 = \frac{9}{5} - 3 = \frac{9 - 15}{5} = -\frac{6}{5}$

(1) より、

$c = 3 - a - b = 3 - \frac{9}{5} - (-\frac{6}{5}) = 3 - \frac{9}{5} + \frac{6}{5} = 3 - \frac{3}{5} = \frac{15 - 3}{5} = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

接点 $(0, 6)$ のとき、接線の方程式は $y = -3x + 6$

接点 $(3, 18)$ のとき、接線の方程式は $y = 24x - 48$

(2)

$a = \frac{9}{5}$

$b = -\frac{6}{5}$

$c = \frac{12}{5}$