与えられた関数の逆関数を求め、逆関数の値域を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題を解きます。 (1) $y = 3^x$ の逆関数を $y = \log_a x$ の形で求める (aを答える)。 (2) $y = \log_3(x - 2)$ の逆関数を $y = (2)^x + (3)$ の形で求める ((2)と(3)を答える)。また、逆関数の値域が $(b, (4))$の形で与えられているとき、(b)と(4)を答える。

1. 問題の内容

与えられた関数の逆関数を求め、逆関数の値域を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題を解きます。

(1) $y = 3^x$ の逆関数を $y = \log_a x$ の形で求める (aを答える)。

(2) $y = \log_3(x - 2)$ の逆関数を $y = (2)^x + (3)$ の形で求める ((2)と(3)を答える)。また、逆関数の値域が $(b, (4))$の形で与えられているとき、(b)と(4)を答える。

2. 解き方の手順

(1) 指数関数の逆関数は対数関数であるという知識を利用します。

$y = 3^x$ の両辺の3を底とする対数をとると、

$\log_3 y = \log_3 3^x$

$\log_3 y = x$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は $y = \log_3 x$ となります。

(2) 対数関数の逆関数は指数関数であるという知識を利用します。

$y = \log_3(x - 2)$ より、

$3^y = x - 2$

$x = 3^y + 2$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は $y = 3^x + 2$ となります。

また、$y = \log_3(x - 2)$ の定義域は $x - 2 > 0$ より、$x > 2$ です。よって、$y = \log_3(x - 2)$ の値域は実数全体なので、逆関数の定義域は実数全体となります。

$y = \log_3(x - 2)$ の逆関数は $y = 3^x + 2$ です。指数関数 $3^x$ の値域は正の実数全体なので、$y = 3^x + 2$ の値域は $y > 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3

(a) +

(3) 2

(b) >

(4) 2