母音 a, i, u, e と子音 b, c, d, f を1列に並べるとき、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。 (1) 子音4個が続いて並ぶ。 (2) 母音と子音が交互に並ぶ。 (3) 両端が子音である。 (4) 特定の母音2個が隣り合わない。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e と子音 b, c, d, f を1列に並べるとき、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。

(1) 子音4個が続いて並ぶ。

(2) 母音と子音が交互に並ぶ。

(3) 両端が子音である。

(4) 特定の母音2個が隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 子音4個をひとまとめにして考えます。すると、全体は5つのものを並べることになります。この5つのものの並べ方は $5!$ 通りです。さらに、子音4個の並べ方は $4!$ 通りあります。したがって、求める並べ方の総数は $5! \times 4!$ となります。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$

(2) 母音が4個、子音が4個なので、交互に並ぶ場合は、母音と子音が交互に並ぶしかありません。つまり、母音、子音、母音、子音、...のように並ぶか、子音、母音、子音、母音、...のように並ぶかの2通りです。

しかし、母音も子音もそれぞれ4個あるので、例えば母音、子音、母音、子音、...のように並べると、最後は子音で終わることになります。

母音の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り

子音の並べ方も $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り

したがって、求める並べ方の総数は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通り。

(3) 両端が子音である場合、まず両端に子音を並べる方法を考えます。4つの子音から2つを選んで並べるので、 $4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通りあります。次に、残りの6つの文字（母音4つと子音2つ）を並べます。これは $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。したがって、求める並べ方の総数は $4P2 \times 6! = 12 \times 720 = 8640$ 通りです。

(4) 特定の母音2個が隣り合わない場合の数は、全体の並べ方から、特定の母音2個が隣り合う場合の数を引けば求められます。

全体の並べ方は $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$ 通りです。

特定の母音2個が隣り合う場合、この2個をひとまとめにして考えます。すると、全体は7つのものを並べることになります。この7つのものの並べ方は $7!$ 通りです。さらに、特定の母音2個の並べ方は $2!$ 通りあります。したがって、特定の母音2個が隣り合う場合の数は $7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080$ 通りです。

求める並べ方の総数は $8! - 7! \times 2! = 40320 - 10080 = 30240$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 2880通り

(2) 576通り

(3) 8640通り

(4) 30240通り