与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を次のように書き下します。

$S = \sum_{k=1}^{9} k \cdot 2^{k-1} = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

次に、$2S$ を計算します。

$2S = \sum_{k=1}^{9} k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 9 \cdot 2^9$

$S - 2S = -S$ を計算すると、

$-S = 1 \cdot 2^0 + (2-1) \cdot 2^1 + (3-2) \cdot 2^2 + \dots + (9-8) \cdot 2^8 - 9 \cdot 2^9$

$-S = 1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^8 - 9 \cdot 2^9$

ここで、等比数列の和の公式を利用します。

$T = 1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^8 = \sum_{k=0}^{8} 2^k = \frac{1-2^9}{1-2} = \frac{1-512}{-1} = 511$

したがって、

$-S = 511 - 9 \cdot 2^9 = 511 - 9 \cdot 512 = 511 - 4608 = -4097$

$S = 4097$

3. 最終的な答え

4097