与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は、各項が $(3k+1) \cdot 4^{k-1}$ (ただし、$k=1, 2, ..., n$) の形をしており、それらの和を計算します。 $S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は、各項が $(3k+1) \cdot 4^{k-1}$ (ただし、$k=1, 2, ..., n$) の形をしており、それらの和を計算します。

$S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、以下の手順を踏みます。

ステップ1：$S_n$ を書きます。

$S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$

ステップ2：$S_n$ に公比である $4$ を掛けます。

$4S_n = 4 \cdot 4 + 7 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4^3 + 13 \cdot 4^4 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n}$

ステップ3：$S_n$ から $4S_n$ を引きます。

$S_n - 4S_n = (4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}) - (4 \cdot 4 + 7 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4^3 + 13 \cdot 4^4 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n})$

$-3S_n = 4 + (7-4) \cdot 4 + (10-7) \cdot 4^2 + (13-10) \cdot 4^3 + \dots + (3n+1 - (3(n-1)+1)) \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 3(4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{n-1}) - (3n+1) \cdot 4^n$

ステップ4：等比数列の和の公式を使います。$4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{n-1} = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4(4^{n-1}-1)}{3}$

$-3S_n = 4 + 3 \cdot \frac{4(4^{n-1}-1)}{3} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 4(4^{n-1}-1) - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 4^n - 4 - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4^n - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = (1 - (3n+1)) \cdot 4^n$

$-3S_n = -3n \cdot 4^n$

$S_n = n \cdot 4^n$

ステップ5：計算を検証します。

$4 + 3 \cdot \frac{4(4^{n-1}-1)}{3} - (3n+1) \cdot 4^n = 4 + 4^n - 4 - 4 - (3n+1)4^n + 4 = 4^n - (3n+1)4^n = (1-3n-1)4^n = -3n4^n$

$-3S_n = 4 + \frac{3 \cdot 4(4^{n-1}-1)}{3} - (3n+1)4^n$

$-3S_n = 4 + 4(4^{n-1}-1) - (3n+1)4^n$

$-3S_n = 4 + 4^n - 4 - (3n+1)4^n$

$-3S_n = 4^n - (3n+1)4^n$

$-3S_n = (1-3n-1)4^n = -3n4^n$

$S_n = n4^n$

3. 最終的な答え

$S_n = n4^n$