(1) 関数 $y = 3^x$ の逆関数を求める。 (2) 関数 $y = \log_2(x-2)$ の逆関数を求め、その逆関数の値域を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 3^x$ の逆関数を求める。

(2) 関数 $y = \log_2(x-2)$ の逆関数を求め、その逆関数の値域を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 3^x$ の逆関数を求める。

まず、$x$ と $y$ を入れ替える。

$x = 3^y$

次に、$y$ について解く。

$y = \log_3 x$

したがって、$y = \log_3 x$

(2)

$y = \log_2(x-2)$ の逆関数を求める。

まず、$x$ と $y$ を入れ替える。

$x = \log_2(y-2)$

次に、$y$ について解く。

$2^x = y - 2$

$y = 2^x + 2$

したがって、$y = 2^x + 2$

次に、逆関数の値域を求める。

元の関数 $y = \log_2(x-2)$ の定義域は $x-2 > 0$ より、$x > 2$ である。

したがって、元の関数の値域は実数全体である。

逆関数の定義域は元の関数の値域であるから、逆関数 $y = 2^x + 2$ の定義域は実数全体である。

元の関数の定義域は逆関数の値域であるから、逆関数の値域は $y > 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $2^x$

(a) +

(3) 2

(b) ＞

(4) 2