次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}$ (2) $\lim_{x\to2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-4}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}$

(2) $\lim_{x\to2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-4}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2-9}{x-3}$ を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

よって、

$\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$

$x \neq 3$ のとき、約分できます。

$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$

したがって、

$\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to3} (x+3) = 3+3 = 6$

(2)

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-4}$ を因数分解します。

$x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

よって、

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-4} = \frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

$x \neq 2$ のとき、約分できます。

$\frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+4}{x+2}$

したがって、

$\lim_{x\to2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-4} = \lim_{x\to2} \frac{x+4}{x+2} = \frac{2+4}{2+2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3/2