与えられた2つの関数を微分し、空欄に適切な数式を記入する問題です。 (1) $y = (3x + 2)^2$ (2) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分し、空欄に適切な数式を記入する問題です。

(1) $y = (3x + 2)^2$

(2) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = (3x+2)^2$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x+2$とおくと、$y=u^2$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot 3 = 6u = 6(3x+2) = 18x + 12$

(2)

$y = \frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x+1$とおくと、$y = u^{-2}$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = \frac{-2}{u^3}$

$\frac{du}{dx} = 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{u^3} \cdot 1 = \frac{-2}{(x+1)^3}$

3. 最終的な答え

(1)

(a): 6

(b): 3x+2

(2)

(c): -2

(d): (x+1)^3