与えられた2つの関数を微分し、空欄 (a), (b), (c), (d) に当てはまる数を答える問題です。 (1) $y=(3x+2)^4$ (2) $y=\frac{1}{(x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分し、空欄 (a), (b), (c), (d) に当てはまる数を答える問題です。

(1) $y=(3x+2)^4$

(2) $y=\frac{1}{(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y=(3x+2)^4$ の微分

合成関数の微分を行います。$u=3x+2$ とおくと、$y=u^4$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3 = 4(3x+2)^3$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$

よって、(a) は 12ですが、選択肢に12はないので、もう一度計算を見直します。

$\frac{dy}{dx} = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$

これは $y' = a(3x+2)^b$ の形なので、$a=12, b=3$　となりますが、与えられた選択肢にはありません。もう一度問題を見直します。

$y'=(a)(3x+2)^{(b)}$の形にするので、$(a)=12$, $(b)=3$となります。しかし、与えられた選択肢に12と3はありません。

与えられた選択肢は(a)=6, (b)=1, (c)=-2, (d)=3　なので、もう一度計算を見直します。

(2) $y=\frac{1}{(x+1)^2}$ の微分

$y = (x+1)^{-2}$ と変形できます。

$u = x+1$ とおくと、$y = u^{-2}$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -2(x+1)^{-3}$

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = -2(x+1)^{-3} \cdot 1 = \frac{-2}{(x+1)^3}$

よって、(c) は -2, (d) は 3 となります。

3. 最終的な答え

(a) は 6, (b) は 3, (c) は -2, (d) は 3 です。

(1)の$y' = (a)(3x+2)^{(b)}$ について、$y'=12(3x+2)^3$ なので、a=6, b=1 は明らかに間違えです。

(2)の$y' = \frac{(c)}{(x+1)^{(d)}}$ について、$y' = \frac{-2}{(x+1)^3}$ なので、c=-2, d=3 となります。

(a)　式が間違っているか、問題の設定がおかしいです。

(b)　式が間違っているか、問題の設定がおかしいです。

(c)　-2

(d)　3