与えられた微分方程式 $(x+y)\frac{dy}{dx} = x-y$ の一般解が与えられている（ただし、問題文には具体的に書かれていません）。選択肢の中から、与えられた微分方程式の特殊解となるものを全て選び出す問題です。一般解の形は$y^2+2xy-x^2=C$の形になると思われます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $(x+y)\frac{dy}{dx} = x-y$ の一般解が与えられている（ただし、問題文には具体的に書かれていません）。選択肢の中から、与えられた微分方程式の特殊解となるものを全て選び出す問題です。一般解の形は$y^2+2xy-x^2=C$の形になると思われます。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を変形し、一般解を求めます。そして、選択肢の各式が、求めた一般解において、定数 $C$ に具体的な値を代入したものになっているかどうかを確認します。

まず、与えられた微分方程式を変形します。

$$(x+y) \frac{dy}{dx} = x-y$$

$$(x+y) dy = (x-y) dx$$

$$x dy + y dy = x dx - y dx$$

$$y dy - x dx + x dy + y dx = 0$$

$$y dy - x dx + d(xy) = 0$$

両辺を積分します。

$$\int y dy - \int x dx + \int d(xy) = \int 0$$

$$\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + xy = C'$$

両辺に2をかけます。

$$y^2 - x^2 + 2xy = 2C'$$

$C = 2C'$ とおくと、

$$y^2 + 2xy - x^2 = C$$

これが一般解です。

各選択肢について、$y^2 + 2xy - x^2 = C$ の形になっているか確認します。

* $y^2 + 2xy - x^2 = 1$: $C=1$ なので特殊解です。

* $y^2 + 2xy = x^2$: $y^2 + 2xy - x^2 = 2x^2$となり、$C=2x^2$。$C$が定数ではないので、特殊解ではありません。

* $y^2 = x^2$: $y^2 + 2xy - x^2 = 2x^2 + 2xy - 2x^2 - 2xy + x^2 + x^2 - x^2 + x^2 = 2xy = -2xy +4x^2$.これも特殊解ではありません。

* $y^2 + 2xy = 2+x^2$: $y^2 + 2xy - x^2 = 2$. $C=2$ なので特殊解です。

* $y^2 + 2xy = -x^2$: $y^2 + 2xy - x^2 = -2x^2$。これも特殊解ではありません。

* $y^2 - x^2 = 1$: $y^2 + 2xy - x^2 = 1 - 2xy + 2xy + 2xy = 1 - 2xy -2xy -2xy + 4xy$.特殊解ではありません。

選択肢の中から、微分方程式の解の条件を満たすものを探します。

$y^2+2xy-x^2=1$　($C=1$)

$y^2+2xy=2+x^2$　$y^2+2xy-x^2=2$ ($C=2$)

3. 最終的な答え

$y^2 + 2xy - x^2 = 1$

$y^2 + 2xy = 2 + x^2$