与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ の一般解が $y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}$ である。選択肢の中から、この一般解の特殊解となっているものをすべて選ぶ問題。特殊解は、一般解の任意定数 $C$ に特定の値を与えたものである。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ の一般解が $y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}$ である。選択肢の中から、この一般解の特殊解となっているものをすべて選ぶ問題。特殊解は、一般解の任意定数 $C$ に特定の値を与えたものである。

2. 解き方の手順

各選択肢が与えられた一般解の特殊解となるかどうかを判断するため、$y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}$ の形に変形できるかを確認する。つまり、$C$ が定数として表せるかどうかを確かめる。

- 選択肢1: $y = \frac{1}{2}e^x$

$C = 0$ のとき、 $y = \frac{1}{2}e^x + 0\cdot e^{-x} = \frac{1}{2}e^x$ となり、これは一般解の特殊解である。

- 選択肢2: $y = \frac{1}{2}e^{2x}$

$y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x} = \frac{1}{2}e^{2x}$ を満たす $C$ は存在しない。したがって、特殊解ではない。

- 選択肢3: $y = e^x + \frac{1}{2}e^{-x}$

$y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x} = e^x + \frac{1}{2}e^{-x}$ より、 $\frac{1}{2}e^x = \frac{1}{2}e^{-x}$ かつ $C = 1$ となる必要があるが、 $e^x = e^{-x}$ は一般には成立しないので、特殊解ではない。

- 選択肢4: $y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-x}$

$C = \frac{1}{2}$ のとき、 $y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-x}$ となり、これは一般解の特殊解である。

- 選択肢5: $y = \frac{1}{2}e^x - \frac{1}{2}e^{-x}$

$C = -\frac{1}{2}$ のとき、 $y = \frac{1}{2}e^x - \frac{1}{2}e^{-x}$ となり、これは一般解の特殊解である。

- 選択肢6: $y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-2x}$

$y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x} = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-2x}$ を満たす $C$ は存在しない。したがって、特殊解ではない。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}e^x$, $y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-x}$, $y = \frac{1}{2}e^x - \frac{1}{2}e^{-x}$