与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ の一般解が $y = Ce^{-x^2} + \frac{1}{2}$ であるとき、選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ の一般解が $y = Ce^{-x^2} + \frac{1}{2}$ であるとき、選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられた一般解 $y = Ce^{-x^2} + \frac{1}{2}$ において、定数 $C$ に特定の値を与えることで、選択肢の関数が得られるかどうかを確認する。

* $y = 0$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = 0$。これは $Ce^{-x^2} = -\frac{1}{2}$ を意味する。$e^{-x^2}$ は正であるため、$C$ は負の定数である必要がある。しかし、$e^{-x^2}$ は $x$ に依存するため、定数 $C$ では表せない。したがって、$y = 0$ は特殊解ではない。

* $y = \frac{1}{2}$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。これは $Ce^{-x^2} = 0$ を意味する。$e^{-x^2}$ は常に正なので、$C = 0$ である必要がある。したがって、$y = \frac{1}{2}$ は特殊解である。

* $y = \frac{1}{2}e^{-x^2}$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{-x^2}$。これは $Ce^{-x^2} = \frac{1}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}$ を意味する。$C = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{x^2}$ となるが、$C$ が定数でなくなるため、$y = \frac{1}{2}e^{-x^2}$ は特殊解ではない。

* $y = \frac{1}{2}(e^{-x^2} + 1)$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{1}{2}$。これは $Ce^{-x^2} = \frac{1}{2}e^{-x^2}$ を意味する。したがって、$C = \frac{1}{2}$ であり、$y = \frac{1}{2}(e^{-x^2} + 1)$ は特殊解である。

* $y = e^{-x^2} + \frac{1}{2}$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = e^{-x^2} + \frac{1}{2}$。これは $Ce^{-x^2} = e^{-x^2}$ を意味する。したがって、$C = 1$ であり、$y = e^{-x^2} + \frac{1}{2}$ は特殊解である。

* $y = e^{-x^2} + 1$：$Ce^{-x^2} + \frac{1}{2} = e^{-x^2} + 1$。これは $Ce^{-x^2} = e^{-x^2} + \frac{1}{2}$ を意味する。$C = 1 + \frac{1}{2}e^{x^2}$ となるが、$C$ が定数でなくなるため、$y = e^{-x^2} + 1$ は特殊解ではない。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}(e^{-x^2} + 1)$, $y = e^{-x^2} + \frac{1}{2}$