関数 $f(x,y) = x^2 + y^3$ で定義される曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $P(2, -1, f(2, -1))$ における接平面の方程式を、選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^2 + y^3$ で定義される曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $P(2, -1, f(2, -1))$ における接平面の方程式を、選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(2, -1)$ を計算します。

$f(2, -1) = 2^2 + (-1)^3 = 4 - 1 = 3$

したがって、点Pは $(2, -1, 3)$ となります。

次に、偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2$

点Pにおける偏微分係数を計算します。

$f_x(2, -1) = 2(2) = 4$

$f_y(2, -1) = 3(-1)^2 = 3$

接平面の方程式は次のように表されます。

$z - f(2, -1) = f_x(2, -1)(x - 2) + f_y(2, -1)(y - (-1))$

値を代入すると、

$z - 3 = 4(x - 2) + 3(y + 1)$

$z - 3 = 4x - 8 + 3y + 3$

$z = 4x + 3y - 8 + 3 + 3$

$z = 4x + 3y - 2$

3. 最終的な答え

$z = 4x + 3y - 2$