関数 $f(x, y) = x^2 + y^3$ で表される曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $P(0, 1, f(0, 1)) = (0, 1, 1)$ における接平面の方程式を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + y^3$ で表される曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $P(0, 1, f(0, 1)) = (0, 1, 1)$ における接平面の方程式を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、偏微分を用いて求めることができます。

まず、与えられた関数 $f(x, y) = x^2 + y^3$ を $x$ と $y$ それぞれについて偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2$

次に、点 $P(0, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(0, 1) = 2(0) = 0$

$f_y(0, 1) = 3(1)^2 = 3$

接平面の方程式は、以下の式で与えられます。

$z - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

点 $P(0, 1, 1)$ を代入すると、

$z - 1 = 0(x - 0) + 3(y - 1)$

$z - 1 = 3y - 3$

$z = 3y - 2$

3. 最終的な答え

$z = 3y - 2$