関数 $f(x, y) = x^2 + y^3$ で定義される曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $P(1, 0, f(1, 0))$ における接平面の方程式を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + y^3$ で定義される曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $P(1, 0, f(1, 0))$ における接平面の方程式を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の $z$ 座標を計算します。$f(1, 0) = 1^2 + 0^3 = 1$ なので、点 $P$ は $(1, 0, 1)$ です。

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2$

偏微分を点 $P(1, 0)$ で評価します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) = 2(1) = 2$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) = 3(0)^2 = 0$

接平面の方程式は次のようになります。

$z - f(1, 0) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0)(y - 0)$

$z - 1 = 2(x - 1) + 0(y - 0)$

$z - 1 = 2x - 2$

$z = 2x - 1$

3. 最終的な答え

z = 2x - 1