合成関数 $z = x^3 + y^2$ について、$x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

合成関数 $z = x^3 + y^2$ について、$x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を用いて $\frac{dz}{dt}$ を計算します。

まず、$\frac{dz}{dx}$ と $\frac{dz}{dy}$ を求めます。

$$\frac{dz}{dx} = 3x^2$$

$$\frac{dz}{dy} = 2y$$

次に、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。

$$\frac{dx}{dt} = -\sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = \cos t$$

合成関数の微分公式より、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dx}\frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dt}$$

これに、上で求めた値を代入します。

$$\frac{dz}{dt} = (3x^2)(-\sin t) + (2y)(\cos t)$$

さらに、$x = \cos t$ と $y = \sin t$ を代入すると、

$$\frac{dz}{dt} = (3\cos^2 t)(-\sin t) + (2\sin t)(\cos t)$$

$$\frac{dz}{dt} = -3\cos^2 t \sin t + 2\sin t \cos t$$

$$\frac{dz}{dt} = 2\sin t \cos t - 3\cos^2 t \sin t$$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = 2\sin t \cos t - 3\cos^2 t \sin t$