合成関数 $z = x^2 - y^3$ において、$x = \cos t$, $y = \sin t$ であるとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める。

1. 問題の内容

合成関数 $z = x^2 - y^3$ において、$x = \cos t$, $y = \sin t$ であるとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ と $y$ の関数とみなし、$x$ と $y$ を $t$ の関数とみなす。すると、合成関数の微分より、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

が成り立つ。

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^3) = 2x$$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^3) = -3y^2$$

$\frac{dx}{dt}$ を計算する:

$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t$$

$\frac{dy}{dt}$ を計算する:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$$

これらの結果を $\frac{dz}{dt}$ の式に代入する:

$$\frac{dz}{dt} = (2x)(-\sin t) + (-3y^2)(\cos t) = -2x\sin t - 3y^2\cos t$$

$x = \cos t$ と $y = \sin t$ を代入する:

$$\frac{dz}{dt} = -2(\cos t)\sin t - 3(\sin^2 t)\cos t = -2\sin t\cos t - 3\sin^2 t\cos t$$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = -2\sin t\cos t - 3\sin^2 t\cos t$