合成関数 $z = x^2 + y^3$ において、$x = \cos t$、$y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

合成関数 $z = x^2 + y^3$ において、$x = \cos t$、$y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使って $\frac{dz}{dt}$ を計算します。まず、$z$ を $x$ と $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$

次に、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

$\frac{dz}{dt}$ は、次のように計算できます。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

上記の式に、偏微分と微分の結果を代入します。

$\frac{dz}{dt} = (2x)(-\sin t) + (3y^2)(\cos t)$

$x = \cos t$、$y = \sin t$ を代入すると、

$\frac{dz}{dt} = (2\cos t)(-\sin t) + (3\sin^2 t)(\cos t)$

$\frac{dz}{dt} = -2\sin t \cos t + 3\sin^2 t \cos t$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = -2\sin t \cos t + 3\sin^2 t \cos t$