関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a$ が、区間 $0 \le x \le 2$ で定義されているとき、以下の問題を解く。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a$ が、区間 $0 \le x \le 2$ で定義されているとき、以下の問題を解く。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a = (x - a)^2 - a^2 + a$

このグラフは、頂点が $(a, -a^2 + a)$ の下に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を考えるため、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は単調増加するので、$x = 2$ で最大値をとります。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + a = 4 - 4a + a = 4 - 3a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、区間の端点 $x = 0$ と $x = 2$ での値を比較します。

$f(0) = 0^2 - 2a(0) + a = a$

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + a = 4 - 3a$

$f(0) - f(2) = a - (4 - 3a) = 4a - 4 = 4(a - 1)$

(a) $0 \le a < 1$ のとき、$f(0) < f(2)$ なので、$x = 2$ で最大値をとります。

最大値は $4 - 3a$

(b) $a = 1$ のとき、$f(0) = f(2) = 1$ なので、$x = 0, 2$ で最大値をとります。

最大値は $1$

(c) $1 < a \le 2$ のとき、$f(0) > f(2)$ なので、$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $a$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は単調減少するので、$x = 0$ で最大値をとります。

$f(0) = 0^2 - 2a(0) + a = a$

以上をまとめると、

$a < 0$ のとき、最大値 $4 - 3a$

$0 \le a < 1$ のとき、最大値 $4 - 3a$

$a = 1$ のとき、最大値 $1$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値 $a$

$a > 2$ のとき、最大値 $a$

これらをさらにまとめると、

$a < 1$ のとき、最大値 $4 - 3a$

$a \ge 1$ のとき、最大値 $a$

(2) 最小値

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a$

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、軸 $x = a$ が区間の左側にあるので、$x = 0$ で最小値をとります。

$f(0) = a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、軸 $x = a$ が区間内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$f(a) = -a^2 + a$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、軸 $x = a$ が区間の右側にあるので、$x = 2$ で最小値をとります。

$f(2) = 4 - 3a$

以上をまとめると、

$a < 0$ のとき、最小値 $a$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値 $-a^2 + a$

$a > 2$ のとき、最小値 $4 - 3a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 1$ のとき、最大値 $4 - 3a$

$a \ge 1$ のとき、最大値 $a$

(2) 最小値

$a < 0$ のとき、最小値 $a$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値 $-a^2 + a$

$a > 2$ のとき、最小値 $4 - 3a$