次の関数の第2次導関数をそれぞれ求めます。 (1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ (2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$ (3) $y = x^3 \log x$

1. 問題の内容

次の関数の第2次導関数をそれぞれ求めます。

(1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

(2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$

(3) $y = x^3 \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

まず、1次導関数を求めます。

$y' = 9x^2 - 6x + 4$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = 18x - 6$

(2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$

まず、1次導関数を求めます。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = x^2$ なので、$u' = 2x$

$v = x - 3$ なので、$v' = 1$

$y' = \frac{2x(x - 3) - x^2(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x}{(x - 3)^2}$

次に、2次導関数を求めます。再び商の微分公式を使用します。

$u = x^2 - 6x$ なので、$u' = 2x - 6$

$v = (x - 3)^2$ なので、$v' = 2(x - 3)$

$y'' = \frac{(2x - 6)(x - 3)^2 - (x^2 - 6x)2(x - 3)}{(x - 3)^4} = \frac{(2x - 6)(x - 3) - 2(x^2 - 6x)}{(x - 3)^3} = \frac{2(x - 3)(x - 3) - 2x(x - 6)}{(x - 3)^3} = \frac{2(x^2 - 6x + 9) - 2x^2 + 12x}{(x - 3)^3} = \frac{2x^2 - 12x + 18 - 2x^2 + 12x}{(x - 3)^3} = \frac{18}{(x - 3)^3}$

(3) $y = x^3 \log x$

まず、1次導関数を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x^3$ なので、$u' = 3x^2$

$v = \log x$ なので、$v' = \frac{1}{x}$

$y' = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log x + x^2$

次に、2次導関数を求めます。再び積の微分公式を使用します。

$y'' = 6x \log x + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = 6x \log x + 3x + 2x = 6x \log x + 5x$

$y'' = (6 \log x + 5)x$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = 18x - 6$

(2) $y'' = \frac{18}{(x - 3)^3}$

(3) $y'' = (6 \log x + 5)x$

したがって、

(a) = 18

(b) = -

(c) = 6

(d) = 18

(e) = 3

(f) = 6

(g) = +

(h) = 5