関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、$a=0$, $b=16$ のときの平均値の定理 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ (ただし $a < c < b$) を満たす $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、$a=0$, $b=16$ のときの平均値の定理 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ (ただし $a < c < b$) を満たす $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(a)$ と $f(b)$ を計算します。

$f(a) = f(0) = \sqrt{0} = 0$

$f(b) = f(16) = \sqrt{16} = 4$

次に、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を計算します。

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{4 - 0}{16 - 0} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、$f'(c)$ を計算します。

$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c}}$

平均値の定理 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ より、

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$

$2\sqrt{c} = 4$

$\sqrt{c} = 2$

$c = 4$

$a < c < b$ つまり $0 < c < 16$ を満たしていることを確認します。$c = 4$ はこの条件を満たしています。

3. 最終的な答え

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