$\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \cos x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$ より、

$1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$

したがって、

$\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

ここで、$\frac{x}{2} = u$ と置換すると、$dx = 2du$ となるので、

$\frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(u) (2du) = \int \sec^2(u) du$

$\int \sec^2(u) du = \tan u + C$

よって、

$\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \tan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\tan(\frac{x}{2}) + C$