与えられた積分 $\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

被積分関数 $\frac{1}{1 + \cos x}$ を変形します。

$\cos x = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ を用いると、

$\frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{1 + \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}} = \frac{1 + \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2) + 1 - \tan^2 (x/2)} = \frac{1 + \tan^2 (x/2)}{2} = \frac{\sec^2 (x/2)}{2}$

したがって、

$\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \int \frac{\sec^2 (x/2)}{2} dx$

ここで、$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ より、$dx = 2 du$ となります。

よって、

$\int \frac{\sec^2 (x/2)}{2} dx = \int \frac{\sec^2 u}{2} (2 du) = \int \sec^2 u \, du = \tan u + C = \tan \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} + C$