袋の中に赤玉、青玉、白玉、黒玉がたくさん入っている。この袋から7個の玉を取り出すとき、玉の取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉、青玉、白玉、黒玉がたくさん入っている。この袋から7個の玉を取り出すとき、玉の取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は重複組み合わせの問題です。異なる4種類の玉（赤、青、白、黒）から重複を許して7個選ぶ場合の数を求めます。これは、$n$種類のものから$r$個選ぶ重複組み合わせの数 $_nH_r$ で計算できます。$_nH_r$ は、組み合わせの記号を使って、次のように表すことができます。

$_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$

この問題では、$n = 4$（玉の種類数）、$r = 7$（選ぶ玉の個数）なので、

${}_{4}H_{7} = {}_{4+7-1}C_{7} = {}_{10}C_{7}$

${}_{10}C_{7}$は、10個のものから7個を選ぶ組み合わせの数なので、次のように計算できます。

${}_{10}C_{7} = \frac{10!}{7! (10-7)!} = \frac{10!}{7! 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

3. 最終的な答え

120通り