不良品率が0.1%である自動車の生産工程から500台を取り出したとき、 (1) 不良品が入っていない確率を求めよ。 (2) 不良品が3台以上入る確率を求めよ。 ただし、確率は小数点第6位を四捨五入して答えよ。

1. 問題の内容

不良品率が0.1%である自動車の生産工程から500台を取り出したとき、

(1) 不良品が入っていない確率を求めよ。

(2) 不良品が3台以上入る確率を求めよ。

ただし、確率は小数点第6位を四捨五入して答えよ。

2. 解き方の手順

総台数 $n=500$, 不良品率 $p=0.001$ とおく。不良品の台数を確率変数 $X$ とおくと、$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。

$n$ は大きく、$p$ は小さい値より、この $B(n, p)$ は、平均 $\mu = np$ のポアソン分布 $P_o(\mu)$ に近似できる。

$\mu = 500 \times 0.001 = 0.5$ なので、$\mu = 0.5$

このポアソン分布の確率密度は、

$P_p(x) = e^{-\mu} \frac{\mu^x}{x!} = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$ ...(1) ($x = 0, 1, 2, ...$)

(1) 不良品がない確率は、$x=0$ を代入して、

$P_p(0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \times 1 = e^{-0.5} \approx 0.606531$

(2) 不良品が3台以上ある確率は、余事象の確率 $P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \le 2)$ を用いて、次のように求められる。

$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

$= 1 - [e^{-0.5}\frac{0.5^0}{0!} + e^{-0.5}\frac{0.5^1}{1!} + e^{-0.5}\frac{0.5^2}{2!}] = 1 - e^{-0.5} [1 + 0.5 + \frac{0.25}{2}]$

$= 1 - e^{-0.5} [1 + 0.5 + 0.125] = 1 - e^{-0.5} [1.625]$

$P(X \ge 3) = 1 - 1.625 e^{-0.5} \approx 1 - 1.625 \times 0.606531 \approx 1 - 0.985603 = 0.014397$

$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)$

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$= e^{-0.5} + 0.5e^{-0.5} + \frac{0.5^2}{2}e^{-0.5} = e^{-0.5}(1 + 0.5 + 0.125) = 1.625 e^{-0.5}$

したがって、

$P(X \ge 3) = 1 - 1.625e^{-0.5} \approx 0.014397$

3. 最終的な答え

(1) 不良品がない確率: 0.606531

(2) 不良品が3台以上入る確率: 0.014397