不良品率が0.1%である自動車の生産工程から500台を取り出したとき、以下の確率を求めます。 (1) 不良品が入っていない確率 (2) 不良品が3台以上入る確率 ただし、確率は小数点第6位を四捨五入して答えます。

1. 問題の内容

不良品率が0.1%である自動車の生産工程から500台を取り出したとき、以下の確率を求めます。

(1) 不良品が入っていない確率

(2) 不良品が3台以上入る確率

ただし、確率は小数点第6位を四捨五入して答えます。

2. 解き方の手順

総台数 $n=500$, 不良品率 $p=0.001$ とおく。不良品の台数を確率変数 $X$ とおくと、$X$は二項分布 $B(n, p)$ に従います。

$n$は大きく、$p$は小さい値より、この$B(n,p)$は、平均$\mu = np = 500 \times 0.001 = 0.5$ のポアソン分布$P_o(0.5)$に近似できます。

このポアソン分布の確率密度は、

$P_p(x) = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$ $(x = 0, 1, 2, ...)$

(1) 不良品がない確率は、$x = 0$を代入して、

$P_p(0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} = 0.6065306597...$

小数点第6位を四捨五入すると、0.606531

(2) 不良品が3台以上ある確率は、余事象の確率$P(X \leq 2)$を用いて、次のように求められます。

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$P(X=0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.606531$

$P(X=1) = e^{-0.5} \frac{0.5^1}{1!} = 0.5e^{-0.5} \approx 0.303265$

$P(X=2) = e^{-0.5} \frac{0.5^2}{2!} = \frac{0.25}{2} e^{-0.5} = 0.125 e^{-0.5} \approx 0.075816$

$P(X \leq 2) = 0.606531 + 0.303265 + 0.075816 = 0.985612$

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0.985612 = 0.014388$

小数点第6位を四捨五入すると、0.014389

したがって、

$P(X \geq 3) = 1 - \frac{ケコ}{サ \sqrt{e}} =

0. シスセソタ$

$P(X \leq 2) = e^{-0.5} + 0.5 e^{-0.5} + \frac{0.5^2}{2} e^{-0.5} = e^{-0.5}(1+0.5+0.125) = 1.625e^{-0.5}$

$P(X \geq 3) = 1 - 1.625e^{-0.5}$

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 0

ウエオカキ: 606531

ク: 2

ケコ: 1.625

サ: 1

シスセソタ: 014389