サイコロを $n$ 回振る試行を考え、$k$ 回目の試行で 2 以下の目が出たら 1 の値を、3 以上の目が出たら 0 の値を確率変数 $X_k$ で表す。$X = X_1 + X_2 + ... + X_n$ は $n$ 回の試行のうち 2 以下の目が出た回数を表す。9000 回サイコロを振るとき、2 以下の目が出る回数 $X$ が $2900 \le X \le 3100$ となる確率を、中心極限定理を用いて求める。

1. 問題の内容

サイコロを $n$ 回振る試行を考え、$k$ 回目の試行で 2 以下の目が出たら 1 の値を、3 以上の目が出たら 0 の値を確率変数 $X_k$ で表す。$X = X_1 + X_2 + ... + X_n$ は $n$ 回の試行のうち 2 以下の目が出た回数を表す。9000 回サイコロを振るとき、2 以下の目が出る回数 $X$ が $2900 \le X \le 3100$ となる確率を、中心極限定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

まず、$P(X_1=1)$, $P(X_2=0)$, $P(X_1=1, X_2=0)$ を求める。

サイコロを1回振ったとき、2以下の目が出る確率は $P(X_k=1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。3以上の目が出る確率は $P(X_k=0) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

よって、ア=1, イ=3, ウ=2, エ=3。

$P(X_1=1, X_2=0) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。よって、オ=2, カ=9。

次に、$X_k$ の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を求める。

$p = P(X_k=1) = \frac{1}{3}$、 $q = 1-p = \frac{2}{3}$。

よって、キ=1, ク=3, ケ=2, コ=3。

$\mu = E[X_k] = 1 \times p + 0 \times q = p = \frac{1}{3}$

$\sigma^2 = E[X_k^2] - \mu^2 = 1^2 \times p + 0^2 \times q - p^2 = p(1-p) = pq = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

$Z = \frac{X - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} = \frac{X - np}{\sqrt{npq}}$ とおくと、$n = 9000$, $p = \frac{1}{3}$, $q = \frac{2}{3}$ より、

$np = 9000 \times \frac{1}{3} = 3000$

$npq = 9000 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 2000$

$\sqrt{npq} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}$

$Z = \frac{X - 3000}{20\sqrt{5}}$ となる。

よって、サ=3, シ=0, ス=0, セ=0, ソ=2, タ=0, チ=5。

$P(2900 \le X \le 3100) = P(\frac{2900-3000}{20\sqrt{5}} \le Z \le \frac{3100-3000}{20\sqrt{5}}) = P(\frac{-100}{20\sqrt{5}} \le Z \le \frac{100}{20\sqrt{5}}) = P(-\sqrt{5} \le Z \le \sqrt{5})$

$\sqrt{5} \approx 2.236$

$P(-\sqrt{5} \le Z \le \sqrt{5}) \approx 1 - 2\Phi(-\sqrt{5}) \approx 1 - 2(1-\Phi(\sqrt{5})) = 2\Phi(\sqrt{5}) - 1 \approx 1 - 2(1-0.9871) \approx 1-2(0.0129) \approx 0.9742$

中心極限定理を用いて、

$P(2900 \le X \le 3100) = P(-\sqrt{5} \le Z \le \sqrt{5}) \approx 1 - 2\Phi(-\sqrt{5}) \approx 0.9742$

したがって、近似的に0.9742となる。テ=9, ト=7, ナ=4

3. 最終的な答え

ア=1, イ=3, ウ=2, エ=3, オ=2, カ=9

キ=1, ク=3, ケ=2, コ=3

サ=3, シ=0, ス=0, セ=0, ソ=2, タ=0, チ=5

テ=9, ト=7, ナ=4