$f$ と $g$ は一次変換であり、$g \circ f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ および $g \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を満たす。$f$ の表現行列が $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ であるとき、$g$ の表現行列を求める。

1. 問題の内容

$f$ と $g$ は一次変換であり、$g \circ f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ および $g \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を満たす。$f$ の表現行列が $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ であるとき、$g$ の表現行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を計算する。

$f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

次に、$g \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ と $g \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられているので、これらを使って $g$ の表現行列を求める。

$g$ の表現行列を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、以下の式が成り立つ。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

これらの式から、以下の連立方程式が得られる。

$-a + 2b = 1$

$2a + b = 2$

$-c + 2d = 3$

$2c + d = 3$

最初の2つの式から、$a$ と $b$ を求める。

$-a + 2b = 1$ より $a = 2b - 1$

これを $2a + b = 2$ に代入すると、$2(2b - 1) + b = 2$ となり、$4b - 2 + b = 2$ よって $5b = 4$ となり、$b = \frac{4}{5}$

$a = 2(\frac{4}{5}) - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$

したがって、$a = \frac{3}{5}, b = \frac{4}{5}$

同様に、後の2つの式から、$c$ と $d$ を求める。

$-c + 2d = 3$ より $c = 2d - 3$

これを $2c + d = 3$ に代入すると、$2(2d - 3) + d = 3$ となり、$4d - 6 + d = 3$ よって $5d = 9$ となり、$d = \frac{9}{5}$

$c = 2(\frac{9}{5}) - 3 = \frac{18}{5} - 3 = \frac{3}{5}$

したがって、$c = \frac{3}{5}, d = \frac{9}{5}$

よって、$g$ の表現行列は $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

g の表現行列は $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} \end{pmatrix}$ です。