関数 $y = \frac{x+1}{x^2+x+1}$ の極値を求め、極大値とその時の $x$ の値、極小値とその時の $x$ の値をそれぞれ答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x+1}{x^2+x+1}$ の極値を求め、極大値とその時の $x$ の値、極小値とその時の $x$ の値をそれぞれ答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$y = \frac{x+1}{x^2+x+1}$

導関数を求めるために、商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。ここで $u = x+1$, $v = x^2+x+1$ です。

$u' = 1$, $v' = 2x+1$

$y' = \frac{1 \cdot (x^2+x+1) - (x+1) \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{x^2+x+1 - (2x^2+3x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}$

次に、導関数が0になる $x$ の値を求めます。

$y' = 0$ となるのは、分子が0になるときなので、

$-x(x+2) = 0$

$x = 0, -2$

$x = 0$ と $x = -2$ の前後で $y'$ の符号がどう変わるかを調べます。

$x < -2$ のとき、$y' < 0$

$-2 < x < 0$ のとき、$y' > 0$

$x > 0$ のとき、$y' < 0$

したがって、$x = -2$ で極小値、$x = 0$ で極大値を取ります。

$x = -2$ のとき、$y = \frac{-2+1}{(-2)^2+(-2)+1} = \frac{-1}{4-2+1} = \frac{-1}{3}$

$x = 0$ のとき、$y = \frac{0+1}{0^2+0+1} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

極大値: 1 ($x = 0$ のとき)

極小値: -1/3 ($x = -2$ のとき)

(1) 1

(2) 0

(3) -1/3

(4) -2

(5) -2