数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標 $x$ が $x = t^3 - 3t^2 - 9t$ ($t \ge 0$) で表されるとき、$t = 1$ における速度 $v$、速さ $|v|$、加速度 $\alpha$ を求める。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標 $x$ が $x = t^3 - 3t^2 - 9t$ ($t \ge 0$) で表されるとき、$t = 1$ における速度 $v$、速さ $|v|$、加速度 $\alpha$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、速度 $v$ は座標 $x$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t) = 3t^2 - 6t - 9$

次に、$t = 1$ における速度 $v$ を求めます。

$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12$

次に、速さ $|v|$ は速度 $v$ の絶対値です。

$|v(1)| = |-12| = 12$

次に、加速度 $\alpha$ は速度 $v$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$\alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9) = 6t - 6$

最後に、$t = 1$ における加速度 $\alpha$ を求めます。

$\alpha(1) = 6(1) - 6 = 6 - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$v = -12$

$|v| = 12$

$\alpha = 0$