曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = x^3 + 5x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5$

次に、点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めるために、$x = 1$ を導関数に代入します。

$y'(1) = 3(1)^2 + 5 = 3 + 5 = 8$

したがって、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $8$ です。

次に、点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $8$ の直線の方程式を求めます。点傾斜形の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、$m$ は傾き、$(x_1, y_1)$ は通る点です。今回は $m = 8$、$x_1 = 1$、$y_1 = 1$ なので、

$y - 1 = 8(x - 1)$

$y - 1 = 8x - 8$

$y = 8x - 7$

したがって、接線の方程式は $y = 8x - 7$ です。

接点は $(1,1)$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 8x - 7$

接点は $(1, 1)$