定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx$ を計算し、その結果を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx$ を計算し、その結果を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin(4x)$ の不定積分を求めます。

$\int \sin(4x) dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx = \left[-\frac{1}{4}\cos(4x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = -\frac{1}{4}\cos\left(4\cdot\frac{\pi}{16}\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4\cdot 0)\right)$

$= -\frac{1}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}\cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{1}{4} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

最後に、この値を単純化します。

$\frac{2-\sqrt{2}}{8} = 4^{-\frac{3}{2}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx = [-\frac{1}{4}cos(4x)]^{\frac{\pi}{16}}_{0} = -\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{1}{4} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

$4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(2^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2^{2\cdot\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \ne \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

積分を計算すると:

$[-\frac{1}{4}\cos(4x)]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = -\frac{1}{4} \cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4} \cos(0)$

$= -\frac{1}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8}$

$= \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$2^{-\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(キ): $-\frac{1}{4}cos(4x)$

(ク): $\frac{2-\sqrt{2}}{8}$