数直線上で原点を出発し、時刻 $t$ における速度が $v = e^{-t} \sin t$ である点Pについて、以下の問いに答えます。 (1) 出発してから1秒後の点Pの位置を求めます。 (2) 出発してから $2\pi$ 秒の間に点Pが動く範囲を求めます。 (3) 出発してから $2\pi$ 秒の間に点Pが動いた道のりを求めます。

1. 問題の内容

数直線上で原点を出発し、時刻 $t$ における速度が $v = e^{-t} \sin t$ である点Pについて、以下の問いに答えます。

(1) 出発してから1秒後の点Pの位置を求めます。

(2) 出発してから $2\pi$ 秒の間に点Pが動く範囲を求めます。

(3) 出発してから $2\pi$ 秒の間に点Pが動いた道のりを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ における点Pの位置 $x(t)$ は、速度 $v(t)$ を積分することで求められます。すなわち、

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-t} \sin t dt$

部分積分を2回行うことで、積分を計算します。

$I = \int e^{-t} \sin t dt$ とおく。

$u = \sin t, dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = \cos t dt, v = -e^{-t}$ なので、

$I = -e^{-t} \sin t - \int -e^{-t} \cos t dt = -e^{-t} \sin t + \int e^{-t} \cos t dt$

さらに、$u = \cos t, dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = -\sin t dt, v = -e^{-t}$ なので、

$I = -e^{-t} \sin t + (-e^{-t} \cos t - \int -e^{-t} (-\sin t) dt) = -e^{-t} \sin t - e^{-t} \cos t - \int e^{-t} \sin t dt$

$I = -e^{-t} \sin t - e^{-t} \cos t - I$

$2I = -e^{-t} (\sin t + \cos t)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t) + C$

よって、$x(t) = -\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t) + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$0 = -\frac{1}{2} e^{-0} (\sin 0 + \cos 0) + C = -\frac{1}{2} (0 + 1) + C$

$C = \frac{1}{2}$

したがって、$x(t) = -\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t) + \frac{1}{2}$

1秒後の位置は、$x(1) = -\frac{1}{2} e^{-1} (\sin 1 + \cos 1) + \frac{1}{2}$

(2) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で、$v(t) = e^{-t} \sin t$ の符号を調べます。$e^{-t} > 0$ なので、$\sin t$ の符号を調べれば良いです。$0 \le t \le 2\pi$ の範囲で、$\sin t \ge 0$ となるのは、$0 \le t \le \pi$ のときで、$\sin t \le 0$ となるのは、$\pi \le t \le 2\pi$ のときです。

$x(0) = 0$, $x(\pi) = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2}$

$x(2\pi) = -\frac{1}{2} e^{-2\pi} (\sin 2\pi + \cos 2\pi) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-2\pi} (0 + 1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-2\pi} + \frac{1}{2}$

したがって、点Pの動く範囲は、$[-\frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2}]$

(3) 点Pが動いた道のりは、$\int_0^{2\pi} |v(t)| dt$ で求められます。

$\int_0^{2\pi} |e^{-t} \sin t| dt = \int_0^{\pi} e^{-t} \sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} -e^{-t} \sin t dt$

$\int e^{-t} \sin t dt = -\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t)$ より、

$\int_0^{\pi} e^{-t} \sin t dt = \left[-\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t)\right]_0^{\pi} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) - (-\frac{1}{2} e^{-0} (\sin 0 + \cos 0)) = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2}$

$\int_{\pi}^{2\pi} -e^{-t} \sin t dt = \left[\frac{1}{2} e^{-t} (\sin t + \cos t)\right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2} e^{-2\pi} (\sin 2\pi + \cos 2\pi) - \frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) = \frac{1}{2} e^{-2\pi} (0 + 1) - \frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) = \frac{1}{2} e^{-2\pi} + \frac{1}{2} e^{-\pi}$

したがって、道のりは $\frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\pi} + \frac{1}{2} e^{-\pi} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-2\pi}$

3. 最終的な答え

(1) 1秒後のPの位置: $x(1) = -\frac{1}{2} e^{-1} (\sin 1 + \cos 1) + \frac{1}{2}$

(2) $2\pi$ 秒の間にPが動く範囲: $[-\frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2}]$

(3) $2\pi$ 秒の間にPが動いた道のり: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-2\pi}$