問題は、$1 - \frac{1}{2}x < \frac{1}{\sqrt{1+x}} < 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

問題は、$1 - \frac{1}{2}x < \frac{1}{\sqrt{1+x}} < 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

残念ながら、画像に具体的な解き方の記述や指示がないため、この不等式をどのように証明するかは不明です。しかし、一般的なアプローチとしては、以下の方法が考えられます。

* **各不等式を個別に証明する:**

$1 - \frac{1}{2}x < \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ と $\frac{1}{\sqrt{1+x}} < 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$ の二つの不等式をそれぞれ証明します。

* **Taylor展開:**

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ をTaylor展開し、$x$の関数で近似します。そして、与えられた不等式と比較します。$x$が0に近い場合、テイラー展開は有効です。

* **微分を用いた単調性の証明:**

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} - (1 - \frac{1}{2}x)$ および $g(x) = (1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2) - \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の単調性を調べ、$x=0$における関数の値から不等式を導きます。画像の右に$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} > 0$と書かれていることから、この方法が考えられます。

もし、$f(x)$が単調増加であり、$f(0) = 0$であれば、$x>0$のとき$f(x)>0$、つまり$1 - \frac{1}{2}x < \frac{1}{\sqrt{1+x}}$が言えます。

3. 最終的な答え

問題文に「〜が成り立つことを示せ」とあるため、最終的な答えは、それぞれの不等式が成り立つことを示す証明になります。具体的な証明は画像からは読み取れません。