与えられた曲線上の点Pにおける接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの曲線と点について、それぞれ接線と法線を求めます。 (a) $y = x^3 - 2x^2 - x$, $P(1, -2)$ (b) $y = e^{3x}$, $P(0, 1)$ (c) $y = \sin x$, $P(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ (d) $y = 3 \log x$, $P(1, 0)$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Pにおける接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの曲線と点について、それぞれ接線と法線を求めます。

(a) $y = x^3 - 2x^2 - x$, $P(1, -2)$

(b) $y = e^{3x}$, $P(0, 1)$

(c) $y = \sin x$, $P(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(d) $y = 3 \log x$, $P(1, 0)$

2. 解き方の手順

(a) $y = x^3 - 2x^2 - x$, $P(1, -2)$

1. 微分して傾きを求める：$y' = 3x^2 - 4x - 1$

2. $x=1$ を代入して、点Pにおける傾きを求める：$y'(1) = 3(1)^2 - 4(1) - 1 = -2$

3. 接線の方程式を求める：$y - (-2) = -2(x - 1) \Rightarrow y + 2 = -2x + 2 \Rightarrow y = -2x$

4. 法線の傾きを求める：$m_{法線} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

5. 法線の方程式を求める：$y - (-2) = \frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y + 2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

(b) $y = e^{3x}$, $P(0, 1)$

1. 微分して傾きを求める：$y' = 3e^{3x}$

2. $x=0$ を代入して、点Pにおける傾きを求める：$y'(0) = 3e^{3(0)} = 3$

3. 接線の方程式を求める：$y - 1 = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x + 1$

4. 法線の傾きを求める：$m_{法線} = -\frac{1}{3}$

5. 法線の方程式を求める：$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 1$

(c) $y = \sin x$, $P(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

1. 微分して傾きを求める：$y' = \cos x$

2. $x = \frac{\pi}{3}$ を代入して、点Pにおける傾きを求める：$y'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

3. 接線の方程式を求める：$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. 法線の傾きを求める：$m_{法線} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$

5. 法線の方程式を求める：$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -2(x - \frac{\pi}{3}) \Rightarrow y = -2x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

(d) $y = 3 \log x$, $P(1, 0)$

1. 微分して傾きを求める：$y' = \frac{3}{x}$

2. $x = 1$ を代入して、点Pにおける傾きを求める：$y'(1) = \frac{3}{1} = 3$

3. 接線の方程式を求める：$y - 0 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 3$

4. 法線の傾きを求める：$m_{法線} = -\frac{1}{3}$

5. 法線の方程式を求める：$y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(a) 接線：$y = -2x$、法線：$y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

(b) 接線：$y = 3x + 1$、法線：$y = -\frac{1}{3}x + 1$

(c) 接線：$y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$、法線：$y = -2x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

(d) 接線：$y = 3x - 3$、法線：$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$