3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を定義します。

2. $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

3. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

4. $x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ が極値を与える点です。$f(x)$ の増減表を作成するために、$f(-\sqrt{2})$ と $f(\sqrt{2})$ の値を求めます。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$

5. $f(x)$ の増減表を考えると、$x < -\sqrt{2}$ で $f'(x) > 0$, $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ で $f'(x) < 0$, $x > \sqrt{2}$ で $f'(x) > 0$ となります。したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極大値 $4\sqrt{2} + 4$ を取り、$x = \sqrt{2}$ で極小値 $-4\sqrt{2} + 4$ を取ります。

6. 極大値が正で、極小値が負であることから、$f(x) = 0$ は3つの実数解を持つことがわかります。

また、$f(0) = 4 > 0$ であることと、$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ であるから$x=2$は解の一つであり、$x^3-6x+4 = (x-2)(x^2+2x-2)=0$から、$x=2, -1 \pm \sqrt{3}$と求まります。

3. 最終的な答え

3個