次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{1}{x^2} dx$ (2) $\int \sqrt{t} dt$ (3) $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx$

(2) $\int \sqrt{t} dt$

(3) $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx$

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

(2) $\int \sqrt{t} dt = \int t^{\frac{1}{2}} dt$

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \sqrt{t^3} + C$

(3) $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ とおきます。

両辺に $(x-1)^2(x-2)$ をかけると、

$1 = A(x-1)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-2)$

$1 = A(x^2-2x+1) + B(x^2-3x+2) + C(x-2)$

$1 = (A+B)x^2 + (-2A-3B+C)x + (A+2B-2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-2A-3B+C = 0$

$A+2B-2C = 1$

$A = -B$ を2番目の式に代入すると、

$2B-3B+C = 0$

$-B+C = 0$

$C=B$

$A=-B$ を3番目の式に代入すると、

$-B+2B-2C = 1$

$B-2C = 1$

$C=B$ なので、

$B-2B=1$

$-B=1$

$B=-1$

$A=1$

$C=-1$

よって、

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}$

したがって、

$\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx = \int (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}) dx$

$= \int \frac{1}{x-2} dx - \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= \ln|x-2| - \ln|x-1| - \int (x-1)^{-2} dx$

$= \ln|x-2| - \ln|x-1| - \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C$

$= \ln|x-2| - \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

$= \ln|\frac{x-2}{x-1}| + \frac{1}{x-1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{x} + C$

(2) $\frac{2}{3} \sqrt{t^3} + C$

(3) $\ln|x-2| - \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

問題の形式に合わせて答えると

(1) -1/x

(2) (2/3)√t^3

(3) ln(x-2)/(x-1) + 1/(x-1)

1. -1

2. x

3. 2/3

4. 3

5. 3

6. ln

7. (x-2)/(x-1)

8. 1

9. x-1