与えられた3つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{3}{x^4} dx$ (2) $\int \sqrt[3]{t^2} dt$ (3) $\int (x-1)^2 (x-2) dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{3}{x^4} dx$

(2) $\int \sqrt[3]{t^2} dt$

(3) $\int (x-1)^2 (x-2) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3}{x^4} dx = \int 3x^{-4} dx = 3 \int x^{-4} dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{x^3} + C$

したがって、空欄(1)は -1、空欄(2)は 3 となります。

(2) $\int \sqrt[3]{t^2} dt = \int t^{\frac{2}{3}} dt = \frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} \sqrt[3]{t^5} + C$

したがって、空欄(3)は 3、空欄(4)は 5 となります。

(3) $\int (x-1)^2 (x-2) dx = \int (x^2 - 2x + 1)(x-2) dx = \int (x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x - 2) dx = \int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$

ここで、与えられた形に合わせることを考えます。

$\int (x-1)^2 (x-2) dx = \int (x^2 - 2x + 1)(x-2) dx = \int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx$

$= \int (x-1)^2 (x-2) dx = \frac{(x-1)^3 (ax+b)}{n} + C$ と仮定します。

$\frac{d}{dx} (\frac{(x-1)^3 (ax+b)}{n}) = (x-1)^2 (x-2)$ を満たすように $a, b, n$ を定めます。

$\frac{1}{n} [3(x-1)^2 (ax+b) + (x-1)^3 a] = (x-1)^2 (x-2)$

$\frac{(x-1)^2}{n} [3(ax+b) + (x-1) a] = (x-1)^2 (x-2)$

$\frac{1}{n} [3ax + 3b + ax - a] = x-2$

$\frac{1}{n} [4ax + 3b - a] = x-2$

$4a/n = 1$ より $4a = n$

$(3b-a)/n = -2$ より $3b-a = -2n$

$3b-a = -8a$

$3b = -7a$

$a = -3k$, $b = 7k$ とおくと、 $n = -12k$

$\frac{(x-1)^3 (-3kx + 7k)}{-12k} + C = \frac{(x-1)^3 (-3x+7)}{-12} + C = \frac{(x-1)^3 (3x-7)}{12} + C$

展開して $\frac{3x^4 - 16x^3 + 30x^2 - 24x + 7}{12} + C$

元の積分結果 $\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$と定数項を除いて一致することを確認する。

従って、空欄(6)は 3, 空欄(7)は 3, 空欄(8)は 7, 空欄(9)は 12 となります。

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 3

(3) 3

(4) 5

(5) 3

(6) 3

(7) 3

(8) 7

(9) 12