定積分 $\int_0^x t \cos t \, dt$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^x t \cos t \, dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この定積分は、部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、$u = t$、$dv = \cos t \, dt$ とおくと、

$du = dt$、$v = \sin t$ となります。

したがって、

$\int_0^x t \cos t \, dt = \left[ t \sin t \right]_0^x - \int_0^x \sin t \, dt$

$= \left[ t \sin t \right]_0^x - \left[ -\cos t \right]_0^x$

$= \left[ t \sin t + \cos t \right]_0^x$

$= (x \sin x + \cos x) - (0 \cdot \sin 0 + \cos 0)$

$= x \sin x + \cos x - 1$

3. 最終的な答え

$x \sin x + \cos x - 1$