関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, \sqrt{3})$ における接線の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, \sqrt{3})$ における接線の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \sqrt{x}$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求める。

$\sqrt{x}$ は $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えられるので、

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$

微分すると

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、点 $(3, \sqrt{3})$ における接線の傾きを求めるために、$f'(x)$ に $x = 3$ を代入する。

$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3}$ をかける。

$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{6}$