以下の3つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_1^3 \frac{1}{y^2} dy$ (2) $\int_0^1 e^{-x} dx$ (3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_1^3 \frac{1}{y^2} dy$

(2) $\int_0^1 e^{-x} dx$

(3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^3 \frac{1}{y^2} dy$ の計算

$\frac{1}{y^2} = y^{-2}$ なので、積分すると $-y^{-1} = -\frac{1}{y}$ となります。

したがって、

$\int_1^3 \frac{1}{y^2} dy = \left[-\frac{1}{y}\right]_1^3 = -\frac{1}{3} - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

(2) $\int_0^1 e^{-x} dx$ の計算

$e^{-x}$ の積分は $-e^{-x}$ です。

したがって、

$\int_0^1 e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e}$

問題文の形式に合わせると、

$\int_0^1 e^{-x} dx = -\frac{-e+1}{e} = -\frac{1-e}{e}$

(3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$ の計算

$3x-2 = t$ と置換すると、$3dx = dt$ より $dx = \frac{1}{3} dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x=1$ のとき $t = 3(1)-2 = 1$

$x=\frac{e+2}{3}$ のとき $t = 3(\frac{e+2}{3}) - 2 = e+2 - 2 = e$

したがって、

$\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx = \int_1^e \frac{1}{t} \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int_1^e \frac{1}{t} dt = \frac{1}{3} [\ln|t|]_1^e = \frac{1}{3} (\ln e - \ln 1) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $-\frac{1-e}{e}$

(3) $\frac{1}{3}$