$\int_{1}^{s} \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{s} \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分は、$\int u dv = uv - \int v du$ で与えられます。

ここでは、$u = \log x$ と $dv = dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

となります。

次に、積分範囲を考慮して定積分を計算します。

$\int_{1}^{s} \log x \, dx = [x \log x - x]_{1}^{s} = (s \log s - s) - (1 \log 1 - 1) = (s \log s - s) - (0 - 1) = s \log s - s + 1$

となります。

3. 最終的な答え

$s \log s - s + 1$