定積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2\sin\theta$ と置換します。

すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=1$ のとき、$1 = 2\sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

$x=2$ のとき、$2 = 2\sin\theta$ より、$\sin\theta = 1$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos\theta)(2\cos\theta) d\theta = 4\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

となります。

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$4\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = 2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos(2\theta)) d\theta = 2\left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3})\right)\right] = 2\left[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

$= 2\left[\frac{3\pi - \pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = 2\left[\frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$