定積分 $\int_{1}^{2} \{x \log x - (\log t + 1)x + t\} dx$ を計算します。ただし、$t$ は定数です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \{x \log x - (\log t + 1)x + t\} dx$ を計算します。ただし、$t$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{1}^{2} x \log x dx - \int_{1}^{2} (\log t + 1)x dx + \int_{1}^{2} t dx$

各項を個別に計算します。

1. $\int_{1}^{2} x \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ です。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} x \log x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_1^2 = (2 \log 2 - 1) - (\frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4}) = 2 \log 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$

2. $\int_{1}^{2} (\log t + 1)x dx = (\log t + 1) \int_{1}^{2} x dx = (\log t + 1) \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = (\log t + 1) (\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = (\log t + 1) \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \log t + \frac{3}{2}$

3. $\int_{1}^{2} t dx = t \int_{1}^{2} dx = t [x]_1^2 = t (2 - 1) = t$

これらの結果を元の式に代入します。

$\int_{1}^{2} \{x \log x - (\log t + 1)x + t\} dx = (2 \log 2 - \frac{3}{4}) - (\frac{3}{2} \log t + \frac{3}{2}) + t = 2 \log 2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \log t - \frac{3}{2} + t = 2 \log 2 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} \log t + t$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} \log t + t + 2 \log 2 - \frac{9}{4}$