定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\cos x}$ を積分しやすい形に変形します。$\cos x$ を分母と分子にかけることで、

$\frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x}$

と変形できます。

次に、$\sin x = t$ と置換すると、$\cos x dx = dt$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1}{1 - t^2} dt$

となります。ここで、$\frac{1}{1 - t^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{1 - t^2} = \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} = \frac{A}{1 - t} + \frac{B}{1 + t}$

とすると、

$1 = A(1 + t) + B(1 - t)$

$1 = (A + B) + (A - B)t$

したがって、$A + B = 1$ かつ $A - B = 0$ となるので、$A = B = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{1 - t^2} dt = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right) dt = \frac{1}{2} \left( -\ln|1 - t| + \ln|1 + t| \right) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C$

ここで、$t = \sin x$ を代入すると、

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$

となります。

したがって、定積分は

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{1 + \sin \frac{\pi}{3}}{1 - \sin \frac{\pi}{3}} \right| - \ln \left| \frac{1 + \sin 0}{1 - \sin 0} \right| \right)$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( (2 + \sqrt{3})^2 \right) = \ln (2 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\ln(2+\sqrt{3})$