曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x + 2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = 2$ が交点の $x$座標です。

次に、$x=0$ から $x=2$ の範囲で、$y = -x^2 + 2x$ を積分します。この積分値が面積 $S$ になります。

$S = \int_0^2 (-x^2 + 2x) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^2$

$S = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 \right)$

$S = -\frac{8}{3} + 4$

$S = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3}$

$S = \frac{4}{3}$

よって、求める面積 $S$ は $\frac{4}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$

(1) 4

(2) 3