(1) 多項式 $x^3 + ax + b$ を多項式 $x^2 + 2x + 3$ で割った余りが $-3x + 13$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 多項式 $x^6 + ax^2 + b$ が多項式 $x^3 + ax + b$ で割り切れるような $a, b$ の組をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^3 + ax + b$ を多項式 $x^2 + 2x + 3$ で割った余りが $-3x + 13$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 多項式 $x^6 + ax^2 + b$ が多項式 $x^3 + ax + b$ で割り切れるような $a, b$ の組をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

多項式 $x^3 + ax + b$ を $x^2 + 2x + 3$ で割ったときの商を $q(x)$、余りを $-3x + 13$ とすると、

$$x^3 + ax + b = (x^2 + 2x + 3)q(x) + (-3x + 13)$$

$x^3 + ax + b$ は3次式、$x^2 + 2x + 3$ は2次式なので、$q(x)$ は1次式である。

そこで、$q(x) = x + c$ とおくと、

$$x^3 + ax + b = (x^2 + 2x + 3)(x + c) - 3x + 13$$

$$x^3 + ax + b = x^3 + cx^2 + 2x^2 + 2cx + 3x + 3c - 3x + 13$$

$$x^3 + ax + b = x^3 + (c + 2)x^2 + 2cx + 3c + 13$$

両辺の係数を比較すると、

$x^2$ の係数: $c + 2 = 0$ より $c = -2$

$x$ の係数: $a = 2c = 2(-2) = -4$

定数項: $b = 3c + 13 = 3(-2) + 13 = -6 + 13 = 7$

したがって、$a = -4, b = 7$

(2)

$x^6 + ax^2 + b$ が $x^3 + ax + b$ で割り切れるので、

$x^6 + ax^2 + b = (x^3 + ax + b)Q(x)$

ここで、$Q(x)$ は $x^3$ の項を含む3次式となる。

$Q(x) = x^3 + px^2 + qx + r$ とおく。

$x^6 + ax^2 + b = (x^3 + ax + b)(x^3 + px^2 + qx + r)$

$= x^6 + px^5 + qx^4 + rx^3 + ax^4 + apx^3 + aqx^2 + arx + bx^3 + bpx^2 + bqx + br$

$= x^6 + px^5 + (q+a)x^4 + (r+ap+b)x^3 + (aq+bp)x^2 + (ar+bq)x + br$

両辺の係数を比較すると、

$x^5$: $p = 0$

$x^4$: $q+a = 0$ より $q = -a$

$x^3$: $r+ap+b = 0$ より $r + b = 0$ だから $r = -b$

$x^2$: $aq+bp = a(-a) + b(0) = -a^2 = a$

$x$: $ar+bq = a(-b) + b(-a) = -2ab = 0$

定数項: $br = b(-b) = -b^2 = b$

$-a^2 = a$ より $a^2 + a = 0$ よって $a(a+1) = 0$ だから $a = 0$ または $a = -1$

$-2ab = 0$ より $a = 0$ または $b = 0$

$-b^2 = b$ より $b^2 + b = 0$ よって $b(b+1) = 0$ だから $b = 0$ または $b = -1$

(i) $a = 0$ のとき

$b = 0$ または $b = -1$

(ii) $a = -1$ のとき

$b = 0$

したがって、$(a, b) = (0, 0), (0, -1), (-1, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4, b = 7$

(2) $(a, b) = (0, 0), (0, -1), (-1, 0)$