$x$ の多項式 $4x^3 - 2x^2 - 9x + 7$ を多項式 $A$ で割ると、商が $B$ で余りが $x+1$ となる。また、$A$ と $B$ の和は $2x^2 + 4x - 5$ である。このとき、$A$ と $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の多項式 $4x^3 - 2x^2 - 9x + 7$ を多項式 $A$ で割ると、商が $B$ で余りが $x+1$ となる。また、$A$ と $B$ の和は $2x^2 + 4x - 5$ である。このとき、$A$ と $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件を式で表します。

割る式を $A$、商を $B$、余りを $x+1$ とすると、

$4x^3 - 2x^2 - 9x + 7 = A \cdot B + (x+1)$

また、$A$ と $B$ の和は $2x^2 + 4x - 5$ なので、

$A + B = 2x^2 + 4x - 5$

これらの式から $A$ と $B$ を求めます。

まず、最初の式から $AB$ を求めます。

$A \cdot B = 4x^3 - 2x^2 - 9x + 7 - (x+1) = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$

次に、$A+B = 2x^2 + 4x - 5$ から $B = 2x^2 + 4x - 5 - A$ を得ます。

これを $AB = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$ に代入します。

$A(2x^2 + 4x - 5 - A) = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$

$A(2x^2 + 4x - 5) - A^2 = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$

$A^2 - (2x^2 + 4x - 5)A + (4x^3 - 2x^2 - 10x + 6) = 0$

$A$ は $4x^3 - 2x^2 - 9x + 7$ を割るので、少なくとも1次以上の式です。$A+B = 2x^2+4x-5$ なので$A$は2次以下の式です。

$4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$ を因数分解することを考えます。

$A+B$ の形から，$A$ の次数を推測すると、

$4x^3-2x^2-10x+6 = (ax+b)(cx^2+dx+e)$ の形になっているはずです。

$4x^3-2x^2-10x+6 = 2(2x^3-x^2-5x+3)$

$x=1$ を代入すると $2-1-5+3 = -1 \neq 0$

$x=-1$ を代入すると $-2-1+5+3 = 5 \neq 0$

$x=3/2$ を代入すると $2(2*27/8-9/4-15/2+3) = 2(27/4-9/4-30/4+12/4) = 2(0) = 0$

よって、$4x^3 - 2x^2 - 10x + 6 = (2x-3)(2x^2+2x-2)$

$A$ または $B$ が、$2x-3$ または $2x^2+2x-2$ の可能性があります。

$A=2x^2+2x-2$ の場合、$B = 2x^2+4x-5-A = 2x^2+4x-5 - (2x^2+2x-2) = 2x-3$

このとき、$A*B+(x+1) = (2x-3)(2x^2+2x-2)+x+1 = 4x^3 + 4x^2 - 4x -6x^2 -6x + 6+x+1 = 4x^3 - 2x^2 -9x +7$

となるので、これは条件を満たします。

3. 最終的な答え

$A = 2x^2 + 2x - 2$

$B = 2x - 3$