初項から第n項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^n + n - 1$ で表される数列の初項と一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第n項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^n + n - 1$ で表される数列の初項と一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、初項 $a_1$ を求めます。$S_1$ は初項に等しいので、$n=1$ を $S_n$ の式に代入します。

$a_1 = S_1 = 2^1 + 1 - 1 = 2$

次に、一般項 $a_n$ を求めます。$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = 2^n + n - 1$

$S_{n-1} = 2^{n-1} + (n-1) - 1 = 2^{n-1} + n - 2$

したがって、$a_n$ は

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n + n - 1) - (2^{n-1} + n - 2) = 2^n - 2^{n-1} + 1 = 2^{n-1}(2 - 1) + 1 = 2^{n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、これは最初に求めた $a_1$ の値と一致します。

したがって、一般項は $a_n = 2^{n-1} + 1$ で表されます。

3. 最終的な答え

初項: $a_1 = 2$

一般項: $a_n = 2^{n-1} + 1$