$n$を2以上の整数とするとき、$(n-1)^3$を$n^2-2n+2$で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

$n$を2以上の整数とするとき、$(n-1)^3$を$n^2-2n+2$で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(n-1)^3$を展開します。

$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$

次に、$n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ を $n^2 - 2n + 2$ で割ります。

まず、$n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ を $n^2 - 2n + 2$ で割ったときの商を求めます。$n^3$ の項を消すためには、$n^2 - 2n + 2$ に $n$ をかける必要があります。

$n(n^2 - 2n + 2) = n^3 - 2n^2 + 2n$

次に、$(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - (n^3 - 2n^2 + 2n) = -n^2 + n - 1$ となります。

次に、$-n^2 + n - 1$ を $n^2 - 2n + 2$ で割ったときの商を求めます。$-n^2$ の項を消すためには、$n^2 - 2n + 2$ に $-1$ をかける必要があります。

$-1(n^2 - 2n + 2) = -n^2 + 2n - 2$

次に、 $(-n^2 + n - 1) - (-n^2 + 2n - 2) = -n + 1$ となります。

よって、$n^3 - 3n^2 + 3n - 1 = (n^2 - 2n + 2)(n-1) - n + 1$ となります。

したがって、商は $n-1$、余りは $-n+1$となります。ただし、余りは$n^2 - 2n + 2$よりも次数が低い必要があります。

商：$n-1$

余り：$-n+1 = -(n-1)$

3. 最終的な答え

商：$n-1$

余り：$1-n$